Hình học Riemann

Trong hình học Riemann, hai mêtric Riemannian g {\displaystyle g} và h {\displaystyle h} trên đa tạp trơn M {\displaystyle M} được gọi là tương đương bảo giác với nhau nếu g = u h {\displaystyle g=uh} với một số hàm dương u {\displaystyle u} trên M {\displaystyle M} . Hàm số u {\displaystyle u} được gọi là phân tử bảo giác.

Một vi đồng phôi giữa hai đa tạp Riemann được gọi là ánh xạ bảo giác nếu mêtric kéo về tương đương bảo giác với metric gốc. Lấy ví dụ, phép chiếu nổi của mặt cầu lên mặt phẳng đi thêm với điểm vô cực là ánh xạ bảo giác.

Ta cũng có thể định nghĩa cấu trúc bảo giác trên đa tạp trơn là lớp các mêtric Riemann tương đương bảo giác với nhau.

Không gian Euclid

Từ định lý cổ điển của Joseph Liouville chứng minh được rằng có ít ánh xạ bảo giác trong trường hợp ba chiều trở lên hơn là trong hai chiều. Bất kỳ ánh xạ bảo giác từ tập con mở của không gian Euclid sang không gian Euclid có chiều bằng ba hoặc lớn hơn có thể được hợp từ ba biến đổi sau: phép vị tự, phép đẳng cự, và biến đổi bảo giác đặc biệt.